1. สมการแม่นตรง ( exact equation )

บทนิยาม  เรากล่าวว่า สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งในรูป

                    P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy  =  0                            (1)

เป็นสมการแม่นตรง ถ้ามีฟังก์ชัน u(x,y) ซึ่ง

                    du(x,y)  =  P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy                   (2)

ดังนั้น ถ้าสมการ (1) เป็นสมการแม่นตรงดังบทนิยามข้างบนนี้ สมการ (1) จึงเขียนได้เป็น

                    du(x,y)  =  0

และได้คำตอบทั่วไปเป็น

                    u(x,y)  =  c 

เมื่อ c เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง

การทดสอบสมการ (1) ว่าเป็นสมการแม่นตรงโดยการหาฟังก์ชัน u(x,y) ที่มีคุณสมบัติตาม (2) เป็นเรื่องไม่ง่าย แต่เนื่องจากฟังก์ชัน u(x,y) เป็นฟังก์ชัน 2 ตัวแปร เราได้

          du(x,y)  =  ∂u(x,y) dx  +  ∂u(x,y) dy                 (3)

                                ∂x                 ∂y

โดยสมการ (2) และ (3) ได้ความสัมพันธ์ของฟังก์ชัน u(x,y) กับฟังก์ชัน P(x,y) และ Q(x,y) ของสมการ (1) เป็น

                    ∂u(x,y)  =  P(x,y)       ,     ∂u(x,y)  =  Q(x,y)

                      ∂x                                      ∂y

          ต่อไปนี้เราจะหาวิธีทดสอบสมการ (1) ว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่ และถ้าเป็นจะหาคำตอบได้อย่างไร

 

ทฤษฎีบท 2.1  ถ้า∂P(x,y) และ  ∂Q(x,y) เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่อง

                                ∂y                   ∂x                                                  

ในอาณาบริเวณ S บนระนาบ xy และถ้า P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy  =  0

 เป็นสมการแม่นตรงแล้ว ∂P(x,y)  =  ∂Q(x,y) สำหรับทุกจุด (x,y)ใน S

                       ∂y              ∂x         

พิสูจน์  : เพราะว่าสมการ P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy  =  0  เป็นสมการแม่นตรง ดังนั้นมีฟังก์ชัน u(x,y) ซึ่ง

                   ∂u(x,y)  =  P(x,y)       ,     ∂u(x,y)  =  Q(x,y)           (4)

                    ∂x                                    ∂y

หาอนุพันธ์เทียบกับ y และ x ตามลำดับได้

          ∂2u(x,y)  =  ∂P(x,y)    ,   ∂2u(x,y)  =  ∂Q(x,y)                (5)

          ∂y∂x           ∂y             ∂x∂y          ∂x

เพราะว่า  ∂P(x,y)  และ  ∂Q(x,y)  มีความต่อเนื่องใน S ดังนั้น

                  ∂y                   ∂x

 ∂2u(x,y)  และ  ∂2u(x,y)  มีความต่อเนื่องใน S ซึ่งเป็นผลให้

  ∂y∂x             ∂x∂y

∂2u(x,y)  =  ∂2u(x,y)   สำหรับทุกจุด (x,y) ใน S  โดยผลที่ได้นี้กับ (5)

∂y∂x          ∂x∂y

ได้               ∂P(x,y)   =   ∂Q(x,y)

                     ∂y              ∂x

สำหรับทุกจุด (x,y) ใน S

 

ทฤษฎีบท 2.2  : ถ้า ∂P(x,y)  และ  ∂Q(x,y)   มีความต่อเนื่องในอาณา

                                 ∂y                  ∂x

บริเวณ S ของระนาบ xy และ  ∂P(x,y)   =   ∂Q(x,y)  ณ ทุกจุด (x,y)

                                                     ∂y               ∂x

ใน S แล้ว สมการ P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy  =  0  เป็นสมการแม่นตรง

พิสูจน์   สมการ P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy เป็นสมการแม่นตรง ถ้ามีฟังก์ชัน u(x,y) ซึ่ง

                    ∂u(x,y)  =  P(x,y)       ,     ∂u(x,y)  =  Q(x,y)            (6)

                     ∂x                                    ∂y

การหา u(x,y) เราอินทิเกรตสมการแรกของ (6) เทียบกับ x โดยให้ y

คงที่ ได้       u(x,y)  =  ∫ax P(t,y) dt  +  f(y)                                        (7)

เมื่อ a เป็นค่าคงตัวใดๆ ซึ่ง (a,y) ∈ S และ f(y)  เป็นฟังก์ชันของ y เป็นค่าคงตัวของการอินทิเกรต และเราใช้  t  เป็นตัวแปรของการอินทิเกรตเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนระหว่างตัวแปรของการอินทิเกรตกับลิมิตของอินทิกรัล ต่อไปหา f(y) โดยหาอนุพันธ์ (7) เทียบกับ y ได้

∂u(x,y)   =   ∂   ∫ax P(t,y) dt  +  f´(y)

 ∂y               ∂y

                =    ∫ax ∂P(t,y) dt  +  f´(y)y     =    ∫ax ∂Q(t,y) dt  +  f´(y)

                              y                                              ∂t

เพราะว่า   ∂P(x,y)   =   ∂Q(x,y)

                    ∂y               ∂x

                          =  Q(x,y)  -  Q(a,y)  +  f´(y)                     (8)

เพราะว่า  ∂u(x,y)   =   Q(x,y)  แทนใน  (8)  ได้

                    ∂y            

                              f´(y)  =  Q(a,y)

อินทิเกรตได้         f(y)  =  ∫by Q(a,s) ds

เมื่อ b เป็นค่าคงตัวใดๆ ซึ่ง (a,b) ∈  S  แทนใน (7) ได้

          u(x,y)  =  ∫ax P(t,y) dt  +  ∫by Q(a,s) ds                    (9)

ซึ่งจะได้  ∂u(x,y)   =   P(x,y)   , ∂u(x,y)   =   Q(x,y)     และ

                    ∂x                             ∂y

        du (x,y)  =  ∂u(x,y) dx  +  ∂u(x,y) dy  =  P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy

∂x                   ∂y

ซึ่งแสดงว่า P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy  =  0  เป็นสมการแม่นตรง

          จากการพิสูจน์ทฤษฎีบททั้งสองข้างบนนี้ สรุปได้ว่า ถ้าสมการ

P(x,y) dx  +  Q(x,y) dy  =  0  เป็นสมการแม่นตรงแล้ว คำตอบทั่วไปของสมการคือ

                         ∫ax P(t,y) dt  +  ∫by Q(a,s) ds  =  c

เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัวใดๆ และ c เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง

หมายเหตุ  การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่  2.2  ถ้าเราเริ่มต้นด้วยการอินทิเกรตสมการที่สองของ (6) เทียบกับ y โดยให้ x คงที่จะได้

          u(x,y)  =  ∫ay Q(x,y) dt  +  ∫bx P(s,a) ds                    (10)

การหา u(x,y) จะเลือกจาก (9) หรือ (10) ขึ้นอยู่กับความยากง่ายของการอินทิเกรต

 


ตัวอย่างที่ 1.1     จงหาคำตอบของสมการ

 

                    (3x2y + 2xy) dx  +  (x3 + x2 + 2y) dy  =  0              (1)

 

วิธีทำ                  เทียบสมการ(1) ว่าเป็นสมการแม่นตรงหรือไม่

จาก    P(x,y)  =  3x2y + 2xy   ,   Q(x,y)  =  x3 + x2 + 2y

 

จะได้ว่า   ∂P(x,y)   =   3x2 + 2x  =   ∂Q(x,y)  =  3x2 + 2x

                ∂y                                     ∂x                  

 

แสดงว่าสมการ (1)   เป็นสมการแม่นตรง โดย (9) ได้

          ∫ax (3t2y + 2ty) dt  +  ∫by (a3 + a2 + 2s) ds  =  C

เลือก  a  =  0  ,  b  =  0  แล้วอินทิเกรตได้

                    x3y + x2y + y2  =  C                          ANSWER

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ตัวอย่างที่ 1.2     จงหาคำตอบของสมการ

                   

y2 dx + 2xy dy  =  0                         (1)

วิธีทำ                  P(x,y)  =  y2   ,   Q(x,y)  =  2xy

 

และ           ∂P(x,y)  =  2y   ,  ∂Q(x,y)  =  2y

                       ∂y                        ∂x

แสดงว่า สมการ (1) เป็นสมการแม่นตรง และเมื่อตรวจสอบทางซ้ายมือของสมการ 2.39 จะเห็นว่า

                    y2 dx + 2xy dy  =  d(xy)2

ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ (1) คือ

                                      xy2  =  C                                ANSWER

 

 

 


ข้อสังเกต :      ถ้าสมการแม่นตรงมีรูปไม่ซับซ้อน    เช่นตัวอย่าง 1.2 เราสามารถหาฟังก์ชัน u(x,y) ได้โดยไม่ต้องใช้ (9)