2. ตัวประกอบการอินทิเกรต ( integrating factor )

 

        พิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่งในรูป

        P(x,y)dx + Q(x,y)dy  =  0                                 (1)

ถ้าสมการ (1) ไม่เป็นสมการแม่นตรง  อาจมีฟังก์ชัน  F(x,y)  ซึ่งเมื่อนำมาคูณตลอดสมการ   (1)      แล้วทำให้ผลที่ได้เป็นสมการแม่นตรง  เราเรียกฟังก์ชัน   F(x,y) นี้ว่า  ตัวประกอบการอินทิเกรต  ของสมการ (1) ตัวอย่างเช่น สมการต่อไปนี้

        ydx – xdy  =  0                           (2)

        2ydy + xdy  =  0                         (3)

        3ydx + 2xdy  =  0                    (4)

ทุกสมการไม่เป็นสมการแม่นตรง       แต่เมื่อคูณตลอดในแต่ละสมการด้วยฟังก์ชันที่เหมาะสม       ทำให้เป็นสมการแม่นตรงได้ดังต่อไปนี้

เช่น  *  คูณตลอดสมการ (2) ด้วย y-2 ได้

                ydx – xdy   =  0

                      y2

จะได้                 d (  x  )  =  0   เป็นสมการแม่นตรง

                      (  y  )      

 

        * คูณตลอดสมการ (3) ด้วย x ได้

                2xy dx + x2 dy  =  0

จะได้             d(x2y)  =  0  เป็นสมการแม่นตรง

        * คูณตลอดสมการ (4) ด้วย (xy)-1 ได้ 

จะได้          3 dx  +  2 dy  =  0

                      x            y

หรือ    d( 3ln |x| + 2ln |y| )  =  0  เป็นสมการแม่นตรง เป็นต้น

 

 


ดังนั้นฟังก์ชัน y-2 , x และ (xy)-1  เป็นตัวประกอบอินทิเกรตตามนิยามข้างบนนี้

        เมื่อคูณสมการ (1) ด้วย F(x,y) ได้

F(x,y) P(x,y) dx + F(x,y) Q(x,y) dy  =  0                  (5)

เป็นสมการแม่นตรง  เป็นไปได้ว่าคำตอบของสมการ (5) ที่ได้อาจมีคำตอบที่นอกเหนือไปจากคำตอบของสมการ (1) กล่าวคือ อาจมีคำตอบที่เป็นคำตอบของสมการ (5) แต่ไม่เป็นคำตอบของสมการ (1) คำตอบดังกล่าวนี้ คือคำตอบของสมการ F(x,y)  =  0  ดังนั้นเมื่อหาคำตอบเป็นคำตอบของสมการ ( 1) ด้วยหรือไม่จากสมการ (5) แล้วควรทดสอบด้วยว่าคำตอบของสมการ F(x,y)  =  0

 


ตัวอย่างที่ 2.1จงหาคำตอบของสมการ y(x3 – y) dx – x(x3 + y) dy  =  0 วิธีทำ            จัดสมการใหม่ได้ เป็น

                   x3(y dx – x dy) – y(y dx + x dy)  =  0         (1) 

เพราะว่า  d ( x )  =  y dx – x dy  จึงคูณตลอดสมการ (1) ด้วย y-2  ได้

                     y                 y2     

                x3 (y dx – x dy) _ (y dx + x dy)    =   0 

                           y2                      y   

หรือ                      x3 d ( x )  _  1 d (xy)      =   0         (2)

                                       y        y   

สมการ (2) เป็นสมการแม่นตรงได้ ถ้าสมประสิทธิ์ของ d ( x / y) เป็นฟังก์ชันของ x / y และสัมประสิทธิ์ของ d (xy) เป็นฟังก์ชันของ xy ดังนั้นเราให้ตัวประกอบอินทิเกรตมีรูปเป็น xmyn คูณตลอดสมการ(2) ได้

                        xm+3 yn d ( x ) – xm yn-1 d(xy)  =  0                     (3)

                                    ( y)

เลือกค่า m และ n โดยให้                   m + 3  =  - n ,  m  =  n – 1

จะได้  m  =  - 2  ,    n  =  - 1 และได้ตัวประกอบอินทิเกรตคือ x-2 y-1 และ สมการ (3) จะมีรูปเป็น

                   x d ( x ) _ ( xy )-2 d (xy)  =  0

                   y      y 

หรือ                 d [ 1 ( x )2 ] +  ( xy )-1  =  0

                           [2    y   ]

ซึ่งจะได้คำตอบทั่วไปเป็น    ( x )2  +  ( xy )-1  =  C        ANSWER

                                            2    y

          การหาตัวประกอบอินทิเกรต

          เราจะพิจารณาหาตัวประกอบอินทิเกรตของสมการเชิงเส้นอนุพันธ์สามัญอันดับหนึ่ง ที่ไม่เป็นสมการแม่นตรงในรูป

                   P (x,y) dx  +  Q (x,y) dy  =  0                        (1)

          สมมุติว่า F(x,y) เป็นตัวประกอบอินทิเกรตของสมการ (2) ดังนั้นสมการ                              FP dx  +  FQ dy  =  0

เมื่อ F = F(x,y)  ,  P  =  P(x,y)  และ Q  =  Q(x,y) เป็นสมการแม่นตรงและได้

                                      ∂FP  =  ∂FQ

                                        ∂y         ∂x

หรือ              1 [ Q∂F  _  P∂F]  =  ∂P   _   ∂Q                  (3)

                            ∂x         ∂y        ∂y        ∂x

จะเห็นว่า F(x,y) เป็นตัวประกอบอินทิเกรตของสมการ (2) ต่อเมื่อ  

F(x,y) สอดคล้องสมการ (2) เท่านั้น

          สมการ (2)  เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย  และการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยยังไม่ได้ศึกษามาก่อน ดังนั้นเพื่อตัดปัญหานี้เราแยกพิจารณากรณีเฉพาะเมื่อ F เป็นฟังก์ชันของ x อย่างเดียว หรือเป็นฟังก์ชันของ y อย่างเดียว ดังต่อไปนี้

          ถ้า F เป็นฟังก์ชันของ x อย่างเดียว จะได้ ∂F / ∂y  =  0 และ

สมการ (3) จะมีรูปเป็น

                   1   dF  =  1 [ ∂P   _   ∂Q ]                                  (4)

                   F   dx      Q   ∂y       ∂x

แสดงว่า ทางขวามือของสมการ (4) ต้องเป็นฟังก์ชันของ x อย่างเดียว

 ให้               A(x)       =  1 [ ∂P   _   ∂Q ]

                                       Q   ∂y        ∂x

และสมการ (4) เขียนได้เป็น

                    1   dF  =  A(x)

                   F   dx     

อินทิเกรตได้

                      F  =  e∫A(x) dx                 เป็นตัวประกอบอินทิเกรต

ทำนองเดียวกัน ถ้า F เป็นฟังก์ชันของ y อย่างเดียว จะได้

          1 [ ∂P   _   ∂Q ]    =  B(y)  เป็นฟังก์ชันของ y อย่างเดียว            

          Q   ∂y        ∂x

และได้                  F  = e-∫B(y) dy     เป็นตัวประกอบการอินทิเกรต

          จากที่ได้พิจารณาแล้ว เราสรุปได้ว่า

(ก) ถ้า 1 [ ∂P   _   ∂Q ]     เป็นฟังก์ชันของ x อย่างเดียวแล้วตัวประ

           Q   ∂y        ∂x

กอบอินทิเกรตของสมการ (2) คือ

                   F  = exp [ ∫1 ( ∂P   _   ∂Q ) dx ]                

                                       Q   ∂y        ∂x

(ข) ถ้า 1 [ ∂P   _   ∂Q ]   เป็นฟังก์ชันของ y อย่างเดียวแล้วตัวประ            

           Q   ∂y        ∂x

กอบอินทิเกรตของสมการ (2) คือ

                   F  = exp [ _ ∫ 1 ( ∂P   _   ∂Q ) dy ]                

                                          P   ∂y         ∂x

ตัวอย่างที่ 2.2    พิจารณาสมการ

                   y ( x + y ) dx + ( x + 2y – 1 ) dy  =  0                 (1)

                   P  =  y ( x + y )  ,  Q  =  x + 2y – 1

และได้  ∂P  =  x + 2y + 1  ,  ∂Q  =  2x + 3y + 2

             ∂y                            ∂x              

แสดงว่า สมการไม่เป็นสมการแม่นตรง พิจารณาต่อไปคือ

             1 [ ∂P   _   ∂Q ]     =  - x – y – 1      =   _  1         

             P   ∂y        ∂x             y(x + y + 1)            y

เป็นฟังก์ชันของ y อย่างเดียว และได้ตัวประกอบอินทิเกรตของสมการ  (1) เป็น

                             F  =  e∫1/y dy  =  y

หาคำตอบของสมการ (1) โดยคูณตลอดสมการ (1) ด้วย y ได้

        ( xy2 + y3 + y2 )dx  +  ( x2y + 3xy2 + 2xy )dy  =  0

หรือ( xy2 dx + x2y dy )+( y3 dx + 3xy2 dy )+( y2 dx + 2xy dy ) = 0

หรือ     d ( x2y2 + xy3 + xy2 )  =  0

                 2  

ดังนั้น     ( x2y2 + xy3 + xy2 )  =  C                    ANSWER

                 2