3.สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง (Firstlinear Eqution)

ในเรื่องนี้เราได้นิยามสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับ n ในรูป

a₀(x) dⁿy + a₁(x) d^n-1y + . . . + a_n-1(x) dy + a_n (x)y = f(x)

dxⁿ dx^n-1 dx

เมื่อ a_I , i = 0 , 1 , 2 , . . . , n และ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง I ของเลขจำนวนจริง และ a₀(x) ≠ 0 สำหรับทุก x ใน I

เมื่อลดรูปเป็นสมการอันดับหนึ่ง จะมีรูปเป็น

a₀(x) dy + a₁(x)y = f(x) (1)

dx

เพราะว่า a₀(x) ≠ 0 จะได้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้นอันดับหนึ่งในรูป

dy + p(x)y = q(x) (2)

dx

เมื่อ p(x) = a₁(x) และ q(x) = f(x)

a₀(x) a₀(x)

หาคำตอบของสมการ (2) เริ่มต้นเขียนสมการ (2) ในรูป

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 ได้

[p(x)y - q(x)] dx + dy = 0 (3)

เมื่อ P(x,y) = p(x)y - q(x) , Q(x,y) = 1

และได้ ∂P(x,y) = p(x) , ∂Q(x,y) = 0

∂y ∂x

แสดงว่าสมการ (3) ไม่เป็นสมการแม่นตรง และเมื่อพิจารณาต่อไปคือ

1 [∂P(x,y) _ ∂Q(x,y) ] = p(x)

Q(x,y) ∂y ∂x

เป็นฟังก์ชันของ X อย่างเดียว ดังนั้นได้ตัวประกอบอินทิเกรตของสมการ (3) เป็น

F = e^{∫ p(x) dx}

คูณตลอดสมการ (2) ด้วย e^{∫ p(x) dx} ได้

e^{∫ p(x) dx} dy + p(x) e^{∫ p(x) dx} y = q(x) e^{∫ p (x) dx}

dx

หรือ d [e^{∫ p(x) dx} y ] = q(x) e^{∫ p(x) dx}

dx

อินทิเกรตได้ e^{∫ p(x) dx} y = ∫q(x) e^{∫ p(x) dx} dx + C

y = e^{-∫ p(x) dx} ∫q(x) e^{∫ p(x) dx} dx + C e^{-∫ p(x) dx} (4)

เป็นคำตอบของสมการ (2)

เมื่อทดสอบดูจะพบว่า y₁ = e^{-∫ p(x) dx}∫q(x) e^{∫ p(x) dx} dx

เป็นคำตอบของสมการ

dy + p(x)y = q(x)

dx

และ y ² = C e^{-∫ p(x) dx} เมื่อ C เป็นค่าคงตัวไม่เจาะจง

เป็นคำตอบของสมการ

dy + p(x)y = 0

dx

ดังนั้นสมการ

dy + p(x)y = q(x)

dx

มีคำตอบทั่วไปเขียนในรูป

y = y₁ + y₂

เราเรียก y₁ ว่าคำตอบเฉพาะ และ y₂ ว่า ฟังก์ชันเติมเต็ม (Complementary Function) ของสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 3.1 จงหาคำตอบของสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่ง

dy + 2y = x (1)

dx x

วิธีทำ ตัวประกอบอินทิเกรตของสมการ (1) คือ

F = e^{-∫2/x dx} = 1/x²

คูณตลอดสมการ (1) ด้วย 1/x² ได้

1 dy _ 2 y = 1

x² dx x³ x

จัดได้ในรูป

d (y) = 1

dx ( x² ) x

อินทิเกรตได้

y = ln | x | + C

x²

หรือ y = x² ln | x | + Cx² ANSWER

ตัวอย่างที่ 3.2 จงหาคำตอบของปัญหาเงื่อนไขค่าเริ่มต้น

dx / dt + x sin t = cos t (1)

x(0) = 0 (2)

วิธีทำ ตัวประกอบอินทิเกรตของสมการ (1) คือ

F = e^{∫ sin t dt} = e^{- cos t}

คูณตลอดสมการ (2) ด้วย e^{- cos t} ได้

e^{- cos t} dx + (sin t) e^{- cos t} x = (cos t) e^{- cos t}

จัดได้ในรูป

d (e^{- cos t} x) = (cos t) e^{- cos t}

dt

อินทิเกรตได้

e^{- cos t} x = ∫(cos t) e^{- cos t} dt + C (3)

เนื่องจากค่าทางขวามือไม่สามารถอินทิเกรตได้ และคำตอบของสมการ (1) ต้องสอดคล้องกบเงื่อนไขเริ่มต้น (2) ดังนั้นค่าทางขวามือของ (3) ซึ่งได้เขียนไว้ในรูปของ อินเดฟฟินิตอินทิกรัล เราเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปของเดฟฟินิตอินทิกรัลที่มีลิมิตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปร ซึ่งมีผลเหมือนกันได้ดังนี้

e^{- cos t} x = ∫_a^t(cos u) e^{- cos u} du + C

เมื่อ a เป็นค่าคงตัวใดๆ เพื่อให้คำณวนค่า C ได้

เลือก a = 0 ได้

e^{- cos t} x = ∫₀^t(cos u) e^{- cos u} du + C

โดยเงื่อนไข (2) คือ x(0) = 0

ได้ C = 0 และได้คำตอบของ (1)

ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น (2) เป็น

x = e^{cos t} x ∫₀^t(cos u) e^{- cos u} du ANSWER