4. สมการแบร์นูลลี ( Bernoulli equation)

เราเรียกสมการที่อยู่ในรูปหรือสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ

y׳ + p(x)y = g(x)yⁿ ว่า Bernoulli differential equation หรือ

Barnoulli equation เช่น

1. y׳ + y = xy³

2. y׳ + y = xy³

2x y³

ข้อสังเกต 1) ถ้า n = 0 หรือ n = 1 แล้ว Bernoulli equation ก็คือ

linear equation of first order นั่นเอง

2) ถ้า n ≥ 2 แล้ว Bernoulli equation ก็คือสมการที่อยู่ในรูปของสมการ (1) คือ y׳ + p(x)y = g(x)yⁿ (1)

นั้นถ้าเราคูณตลอดสมการด้วย y^{- n} จะได้ y^{- n}. y׳ + p(x) y^{1 - n} = g(x) ซึ่งอยู่ในรูปของสมการ (1) โดยมี f(y) = y^{1 - n}

ดังนั้นการแก้สมการ Bernoulli equation จึงใช้วิธีการแก้สมการ (1) โดยให้ v = y^{1 - n} เสมอ

ก่อนที่จะแก้สมการ Bernoulli equation เราจะศึกษาถึงทฤษฎีที่เกี่ยวกับ Bernoulli equation ก่อนคือ ทฤษฎี 2.1

ทฤษฎี 4.1 ถ้า n ≠ 0 หรือ n ≠ 1 แล้ว Bernoulli equation

y׳ + p(x)y = g(x)yⁿ (1)

สามารถเขียนอยู่ในรูปของ linear equation ของ v ได้ถ้าให้

v = y^{1 – n}

พิสูจน์ เอา y^{- n} คูณตลอดสมการ (1) ได้

y^{- n}. y׳ + p(x) y^{1 - n} = g(x) (2)

ให้ v = y^{1 – n} ได้ dv = d y^{1 – n} . dy = (1 – n)y^{- n} . dy

dx dy dx dx

แทนค่า v และ dv / dx ในสมการ 2 ได้

1 . dv + p(x).v = g(x) หรือ

1 – n dx

dv + (1 – n) p(x) . v = (1 – n) . g(x) (3)

dx

ให้ P(x) = (1 – n) p(x) และ Q(x) = (1 – n) g(x) แทนในสมการ (3) จะได้

dv / dx + P(x) . v = Q(x) ซึ่งเป็น linear equation ของ v ตามต้องการ

ตัวอย่าง 4.1 จงแก้สมการ

y׳ + y = xy³

วิธีทำ จะเห็นว่าสมการ 32 เป็น Bernoulli equation มี n = 3 ในที่นี้ดังนั้นโดยทฤษฎี 2.1 เอา y^{- 3} คูณตลอดสมการได้

y^{- 3} y׳ + y^{- 2} = x (1)

ให้ v = y^{- 2} ได้ dv = -2y^{- 3} . dy แทนค่าในสมการ (1) ได้

_ 1 . dv + v = x

2 dx

หรือ dv - 2v = - 2x ….. (2) ซึ่งเป็น linear equation ในรูปของ dx

v׳ + p(x) v = g(x) โดยมี p(x) = - 2

Integrating Factor คือ µ(x) = e^{∫(- 2) dx} = e^{- 2x}

เอา e^{- 2x} คูณตลอดสมการ (2) ได้

e^{- 2x} ( dv _ 2v ) = - 2x e^{- 2x}

dx

หรือ d (e^{- 2x} v ) = - 2x e^{- 2x} ……………..(3)

dx

อินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการ (3)

∫ d (e^{- 2x} v ) = - ∫ 2x e^{- 2x} dx

เมื่อ Integrate จะได้

e^{- 2x} v = 1 e^{- 2x} (2x + 1) + c , c = ค่าคงที่

2

ดังนั้น v = 1 e^{- 2x} (2x + 1) + c e ^2x ……………..(4)

2

แทนค่า v = y^{- 2} ใน (4)

จะได้ general solution ที่โจทย์ต้องการ คือ

1 = 1 e^{- 2x} (2x + 1) + C e ^2x

y² 2

เมื่อ C เป็น Arbitrary Constant ANSWER

ตัวอย่าง 4.2 จงแก้สมการ y´ _ 1 y = y⁴ ln x (1)

3x

วิธีทำ จะเห็นว่าสมการ (1) อยู่ในรูปของ Bernoulli equation ดังนั้นเอา y^{- 4} คูณตลอดสมการจะได้ y^{- 4} . y´ _ 1 y^{- 3} = ln x (2)

3x

ให้ v = y- 3 ได้ dv = -3 y^{- 4} . dy แทนในสมการ (2) ได้

dx dx

_ 1 dv _ 1 v = ln x (3)

3 dx 3x

หรือ dv + 1 v = -3 ln x (3) ซึ่งเป็น linear equation ในรูปของ

v´ + p(x)v = g(x) โดยมี p(x) = 1 / x

Integrating Factor คือ µ(x) = e^{∫1/x dx} = e^{ln x} = x

เอา x คูณตลอดสมการ (3) ได้ x( dv + 1 . v ) = - 3x ln x

dx x

หรือ d (xv) = - 3x ln x (4)

dx

อินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการ (4) ได้

จะได้ xv = -3 ( 1 x² ln x _ 1 x² ) + c , แทนค่า v = y-3

2 4

หรือ y-3 = _ 3 x ln x + 3 x + c

2 4 x

y = -3 x ln x + 3 x + 3 + C เมื่อ C เป็น Arbitriry Constant ANSWETR

2 4 x